Aluno: Elder Patrick Teixeira de Andrade do 2º ano de Licenciatura em Matemática

Tutor: Prof. António Salgueiro (UC)

Objetivos principais: adquirir os conhecimentos fundamentais da teoria dos nós, especialmente os quandles, estruturas que foram introduzidas nos últimos anos para o estudo de nós; conhecer e distinguir os diferentes tipos de nós, recorrendo às diferentes espécies de invariantes, dando enfase na coloração dos nós; conhecer os critérios de distinção entre duas projeções: se são ou não equivalentes; reconhecer a tricolorabilidade dos nós; generalizar as suas propriedades de coloração e adquirir conhecimentos sobre os quandles.

Resultados: Primeiramente trabalharmos com os nós do diagrama de nós (com 8 ou menos cruzamentos) onde o principal objetivo era provar com base nos invariantes (coloração de diagramas), quais de entre os nós tabelados eram tricoloriveis. Conseguimos “a mão” encontrar de entre os 35 nós tabelados quais são tricolores. Sabendo que a tricolorabilidade não muda com os movimentos de Redeimester, portanto se tivermos um digrama que representa um nó se for possível tricolorir esse diagrama podemos concluir que esse nó não é trivial. Mas não se pode usar este critério para dizer que dois nós são equivalentes, pois se dois nós são tricolores, não existe nenhum motivo que nos leva a concluir que são equivalentes. 

Neste mesmo contexto, mas generalizado, aprendemos o contexto de 𝑛 coloração de diagramas. Consiste em pintar cada diagrama com um numero 𝑛 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ∈ 𝑁 de cores de modo que verifica a condição 2𝑥 ≡ 𝑦 + 𝑧𝑚𝑜𝑑(𝑛). 

Na generalização do conceito 𝑛 coloração dos nós, surge uma estrutura algébrica motivada pelos movimentos de Redeimester chamada quandles. Tivemos que encontrar todos os quandles de ordem 3. Neste caso pode ser feito a mão, e testando os  8 casos obtivemos 5 quandles. No entanto, para n = 4 já vai haver 6 × 6 × 6 × 6 = 1296 casos. Por isso, é mais razoável fazer a verificação através de um programa. Usamos a linguagem de programação C, em Code blocks. Para n = 4, há 36 quandles. Os resultados neste processo foram satisfatórios, pois encontramos com o programa todos os quandles possíveis de ordem 3,4,5. 

Conclusão: A teoria dos nós é bastante importante da topologia algébrica. O problema central desta teoria é distinguir dois nós. O que é bastante difícil no ponto de vista matemático. Neste trabalho tivemos a oportunidade de conhecer e compreender conceitos como enlaces, projeções, diagramas, cruzamentos, equivalência de nós, movimentos de Redeimeister, invariantes, tricolorabilidade, etc. A partir de invariante simples, o estudo foi evoluindo, para a colorabilidade por um grupo cíclico finito e culminou no conceito de quandle, que generaliza todos as colorabilidades anteriores.  O tema trabalho é bastante interessante na matemática moderna (conceito Quandles) e abre horizonte para futuros estudos no âmbito de mestrado e doutoramento.